【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x3-6x+5,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的極值;(2)若關(guān)于x的方程f(x)=a有三個不同的實根,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,可得函數(shù)的極值;(2)方程 有三個實根等價于, 與 有三個交點,畫出函數(shù)的大致圖象,結(jié)合圖象與函數(shù)的極值可求出取值范圍.
試題解析:(1)f′(x)=3x2-6,令f′(x)=0,
解得x1=-,x2=.
因為當(dāng)x>或x<-時,f′(x)>0;
當(dāng)-<x<時,f′(x)<0.
所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-)和(,+∞);
單調(diào)遞減區(qū)間為(-,).
當(dāng)x=-時,f(x)有極大值5+4;
當(dāng)x=時,f(x)有極小值5-4.
(2)由(1)的分析知y=f(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示.
所以,當(dāng)5-4<a<5+4時,
直線y=a與y=f(x)的圖象有三個不同的交點,
即方程f(x)=a有三個不同的實根.
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【題目】已知奇函數(shù)f(x)=a-(a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)判定并證明f(x)的單調(diào)性;
(2)若對任意實數(shù)x,f(x)>m2-4m+2恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】某市居民用水?dāng)M實行階梯水價,每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費,超出w立方米的部分按10元/立方米收費,從該市隨機調(diào)查了10000位居民,獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù),整理得到如圖頻率分布直方圖:
(1)如果w為整數(shù),那么根據(jù)此次調(diào)查,為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米,w至少定為多少?
(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替,當(dāng)w=3時,估計該市居民該月的人均水費.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3處取得極值.
(1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在點A(1,16)處的切線方程.
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【題目】下列說法正確的序號是__________________.(寫出所有正確的序號)
①正切函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù);
②已知函數(shù)的最小正周期為,將的圖象向右平移個單位長度,所得圖象關(guān)于軸對稱,則的一個值可以是;
③若,則三點共線;④函數(shù)的最小值為;
⑤函數(shù)在上是增函數(shù),則的取值范圍是.
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD= AD.
(1)在平面PAD內(nèi)找一點M,使得直線CM∥平面PAB,并說明理由;
(2)證明:平面PAB⊥平面PBD.
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【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=2,a2為整數(shù),且a3∈[3,5].
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
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【題目】在極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為,現(xiàn)以極點為原點,極軸為軸的非負半軸建立平面直角坐標(biāo)系,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;
(2)若曲線為曲線關(guān)于直線的對稱曲線,點分別為曲線、曲線上的動點,點坐標(biāo)為,求的最小值.
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【題目】已知直線()與軸交于點,動圓與直線相切,并且與圓相外切,
(1)求動圓的圓心的軌跡的方程;
(2)若過原點且傾斜角為的直線與曲線交于兩點,問是否存在以為直徑的圓經(jīng)過點?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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