Question

【題目】如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過(guò)點(diǎn)和的直線與原點(diǎn)的距離為．

（1）求橢圓的方程．

（2）已知定點(diǎn)，若直線與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．問(wèn)：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)?請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，使得以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（1）由兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得直線方程,根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式可得間的關(guān)系式,再結(jié)合離心率及可解得的值．（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去整理為關(guān)于的一元二次方程．根據(jù)有2個(gè)交點(diǎn)可知其判別式大于0得的范圍．由上式可得兩根之和,兩根之積．以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)時(shí),根據(jù)直線垂直斜率相乘等于可得的值．若滿足前邊判別式大于0得的的范圍說(shuō)明存在,否則說(shuō)明不存在．

試題解析：解：解析：（1）直線方程為：．

依題意 解得

∴ 橢圓方程為．

（2）假若存在這樣的值，由得．

∴ ①

設(shè)，、，，則 ②

而．

要使以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，則，即

∴ ③

將②式代入③整理解得．經(jīng)驗(yàn)證，，使①成立．

綜上可知，存在，使得以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)．