Question

【題目】如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E為棱AA1的中點．

（1）證明B1C1⊥CE；
（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
（3）設點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為 ，求線段AM的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以點A為原點建立空間直角坐標系，如圖，

依題意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．

則 ，

而 =0．

所以B1C1⊥CE；

（2）解： ，

設平面B1CE的法向量為 ，

則 ，即 ，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．

所以 ．

由（1）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，

故 為平面CEC1的一個法向量，

于是 = ．

從而 = = ．

所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值為 ．

（3）解： ，

設 0≤λ≤1，

有 ．

取 為平面ADD1A1的一個法向量，

設θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角，

則 =

= ．

于是 ．

解得 ．所以 ．

所以線段AM的長為 ．

【解析】（1）由題意可知，AD，AB，AA1兩兩互相垂直，以a為坐標原點建立空間直角坐標系，標出點的坐標后，求出 和 ，由 得到B1C1⊥CE；（2）求出平面B1CE和平面CEC1的一個法向量，先求出兩法向量所成角的余弦值，利用同角三角函數基本關系求出其正弦值，則二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求；（3）利用共線向量基本定理把M的坐標用E和C1的坐標及待求系數λ表示，求出平面ADD1A1的一個法向量，利用向量求線面角的公式求出直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值，代入 求出λ的值，則線段AM的長可求．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的性質和空間角的異面直線所成的角，掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則即可以解答此題．