Question

（2013•順義區(qū)二模）設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．當x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1；當x∈（0，π）且x≠

π

2

時，(x-

π

2

)f′(x)＜0．則函數(shù)y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零點個數(shù)為

6

．

Answer 1

分析：根據(jù)x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1；當x∈（0，π）且x≠

π

2

時，(x-

π

2

)f′(x)＜0，確定函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的圖形，即可得到結(jié)論．

解答：解：∵x∈（0，π） 且x≠

π

2

時，（x-

π

2

）f′（x）＜0
∴x∈（0，

π

2

），函數(shù)單調(diào)增，x∈（

π

2

，π），函數(shù)單調(diào)減．
∵x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1，
在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，在同一坐標系中作出y=cosx和y=f（x）草圖如下，

由圖知y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零點個數(shù)為6個．
故答案為：6．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點，考查函數(shù)的周期性與奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．