Question

如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船．
（Ⅰ）求處于C處的乙船和遇險漁船間的距離；
（Ⅱ）設乙船沿直線CB方向前往B處救援，其方向與

CA

成θ角，求f（x）=sin²θsinx+cos²θcosx（x∈R）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接BC，依題意可知AC，AB的值和∠CAB，進而由余弦定理求得BC．
（Ⅱ）先根據(jù)正弦定理求得sinθ，進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系求得cosθ，進而利用兩角和公式化簡函數(shù)的解析式，進而根據(jù)正弦函數(shù)的性質求得函數(shù)的值域．

解答：解：（Ⅰ）連接BC，由余弦定理得BC²=20²+10²-2×20×10COS120°=700．
∴BC=10

7

．
（Ⅱ）∵

sinθ

20

=

sin120°

10 7

，
∴sinθ=

3 7

∵θ是銳角，
∴cosθ=

4 7

，
f（x）=sin²θsinx+cos²θcosx=

3

7

sinx+

4

7

cosx=

5

7

sin(x+?)
∴f（x）的值域為[-

5

7

， 

5

7

]．

點評：本題主要考查了解三角形中的實際運用．考查了學生運用所學知識解決實際問題的能力．