Question

12．已知關(guān)于x的不等式ax²-3x+2＞0．
（1）若不等式的解集為全體實(shí)數(shù)集R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若不等式的解集為{x|x＜1或x＞b}，
①求a，b的值；
②解關(guān)于x的不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)不等式的解集為實(shí)數(shù)集R時(shí)$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，求不等式組的解集即可；
（2）①由不等式的解集與對(duì)應(yīng)方程根的關(guān)系，列出方程求出a、b的值；
②根據(jù)題意把不等式化為（x-c）（x-2）＜0，討論c的取值，求出解集即可．

解答 解：關(guān)于x的不等式ax²-3x+2＞0；
（1）當(dāng)不等式的解集為全體實(shí)數(shù)集R時(shí)，
$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{9-8a＜0}\end{array}\right.$，
解得a＞$\frac{9}{8}$，
∴a的取值范圍是a＞$\frac{9}{8}$；
（2）①不等式的解集為{x|x＜1或x＞b}，
即方程ax²-3x+2=0的解是1和b（且b＞1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+b=\frac{3}{a}}\\{1×b=\frac{2}{a}}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=2；
②根據(jù)題意，不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0可化為
x²-（c+2）x+2c＜0，
即（x-c）（x-2）＜0；
當(dāng)c＞2時(shí)，不等式的解集為{x|2＜x＜c}，
當(dāng)c=2時(shí)，不等式的解集為∅，
當(dāng)c＜2時(shí)，不等式的解集為{x|c＜x＜2}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式與對(duì)應(yīng)方程解的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．