Question

11．△AOB是直角邊長為1的等腰直角三角形，在坐標(biāo)系中位置如圖所示，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P（a，b）是三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，且滿足b=2a，過P點(diǎn)分別做OB，OA，AB三邊的平行線，求陰影部分面積的最大值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 求出直線AB的方程，求出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合三角形和梯形的面積，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：AB的方程為y=-x+1，
則△PEF是等腰直角三角形，
∵P（a，b），
∴△PEF的面積S=$\frac{1}{2}$a²，
當(dāng)y=b時(shí)，x=1-b=1-2a，
即H（1-2a，2a），則PH=1-3a，PN=2a，NB=1-a，
則梯形的面積S=$\frac{（1-3a+1-a）•2a}{2}$=2a-4a²，
則陰影部分的面積S=$\frac{1}{2}$a²+2a-4a²=-$\frac{7}{2}$a²+2a=-$\frac{7}{2}$（a-$\frac{2}{7}$）²+$\frac{2}{7}$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{0＜2a＜1}\end{array}\right.$，得0＜a＜$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)a=$\frac{2}{7}$時(shí)，面積取得最大值$\frac{2}{7}$，
此時(shí)P（$\frac{2}{7}$，$\frac{4}{7}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)最值的求解，根據(jù)三角形和梯形的面積公式，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．