Question

請(qǐng)仔細(xì)閱讀以下材料：

已知是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)．

求證：命題“設(shè)，若，則”是真命題．

證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040506063953133341/SYS201504050607032041144459_ST/SYS201504050607032041144459_ST.003.png">，由得．

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040506063953133341/SYS201504050607032041144459_ST/SYS201504050607032041144459_ST.001.png">是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，

于是有． ①

同理有． ②

由① + ②得．

故，命題“設(shè)，若，則”是真命題．

請(qǐng)針對(duì)以上閱讀材料中的，解答以下問題：

（1）試用命題的等價(jià)性證明：“設(shè)，若，則：”是真命題；

（2）解關(guān)于的不等式（其中）．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不等式的解集為：

②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不等式的解集為：

【解析】

試題分析：（1）在判斷四種命題的關(guān)系時(shí)，首先要分清命題的條件和結(jié)論，當(dāng)確定了原命題時(shí)，要能根據(jù)四種命題的關(guān)系寫出其他三種命題；（2）當(dāng)一個(gè)命題有大前提時(shí)，若要寫出其他三種命題，大前提需保持不變；（3）判斷一個(gè)命題為真命題，要給出推理證明；說明一個(gè)命題是假命題，只需舉出反例；（4）根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假.

試題解析： 【解析】
（1）原命題與原命題的逆否命題是等價(jià)命題.

原命題的逆否命題：設(shè)，若，則： 4分

下面證明原命題的逆否命題為真命題：

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040506063953133341/SYS201504050607032041144459_DA/SYS201504050607032041144459_DA.007.png">，由得：， 1分

又是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)

所以 （1） 1分

同理有： （2） 1分

由（1）+（2）得： 1分

所以原命題的逆否命題為真命題

所以原命題為真命題. 1分

（2）由（1）的結(jié)論有：，即： 3分

①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不等式的解集為： 3分

②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不等式的解集為： 3分

考點(diǎn)：1、命題及其相互關(guān)系；2、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).