在幾何體ABCDE中,∠BAC=,DC⊥平面ABC,EB⊥平面ABC, AB=AC=BE=2,CD=1.
(1)設(shè)平面ABE與平面ACD的交線為直線,求證:∥平面BCDE;
(2)設(shè)F是BC的中點(diǎn),求證:平面AFD⊥平面AFE;
(3)求幾何體ABCDE的體積.
(1)詳見(jiàn)解析;(2)詳見(jiàn)解析;(3)2.
解析試題分析:(1)根據(jù)兩條直線同垂直于一個(gè)平面,這兩條直線平行可得DC//EB,再有直線與平面平行的判定定理得出直線DC∥平面ABE,由于是平面ABE與平面ACD的交線,可得DC∥,又由直線與平面平行的判定定理∥平面BCDE.(2)先證AF⊥平面BCDE,再證FD⊥平面AFE,最后證明平面AFD⊥平面AFE.(3)由等體積公式求解,即.
【證】(1)∵DC⊥平面ABC,EB⊥平面ABC,
∴DC//EB,又∵DC平面ABE,EB平面ABE,
∴DC∥平面ABE,
平面ABE平面ACD,則DC∥,
又平面BCDE,CD平面BCDE,
所以∥平面BCDE.(4分)
【解】(2)在△DEF中,,由勾股定理知,
由DC⊥平面ABC,AF平面ABC,∴DC⊥AF,
又∵AB=AC,F(xiàn)是BC的中點(diǎn),∴AF⊥BC,
又∵DC∩BC=C,DC平面BCDE ,BC平面BCDE,
∴AF⊥平面BCDE,∴AF⊥FD,又∵AF∩FE=F,∴FD⊥平面AFE,
又FD平面AFD,故平面AFD⊥平面AFE.(9分)
(3)==2.(13分)
考點(diǎn):空間中的線線、線面、面面平行于垂直,三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在四棱柱中,已知平面平面且,.
(1) 求證:
(2) 若為棱上的一點(diǎn),且平面,求線段的長(zhǎng)度
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
在如圖所示的多面體中,四邊形和都為矩形。
(Ⅰ)若,證明:直線平面;
(Ⅱ)設(shè),分別是線段,的中點(diǎn),在線段上是否存在一點(diǎn),使直線平面?請(qǐng)證明你的結(jié)論。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,點(diǎn)M,N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn).
(1)證明:MN∥平面A′ACC′;
(2)求三棱錐A′-MNC的體積.(錐體體積公式V=Sh,其中S為底面面積,h為高)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,和所在平面互相垂直,且,,E、F、G分別為AC、DC、AD的中點(diǎn).
(1)求證:平面BCG;
(2)求三棱錐D-BCG的體積.
附:椎體的體積公式,其中S為底面面積,h為高.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,D為CC1中點(diǎn).
(1)求證:AB1⊥面A1BD;
(2)求二面角A-A1D-B的余弦值;
(3)求點(diǎn)C到平面A1BD的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖菱形ABEF所在平面與直角梯形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2CD=4,,點(diǎn)H、G分別是線段EF、BC的中點(diǎn).
(1)求證:平面AHC平面;(2)點(diǎn)M在直線EF上,且平面,求平面ACH與平面ACM所成銳角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是平行四邊形,且AC⊥CD,PA=AD,M,Q分別是PD,BC的中點(diǎn).
(1)求證:MQ∥平面PAB;
(2)若AN⊥PC,垂足為N,求證:MN⊥PD.
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