4.已知函數(shù)f(x)=xlnx.
(Ⅰ)求曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)g(x)=f(x)+x2-3x的單調(diào)區(qū)間及極值;
(Ⅲ)對?x≥1,f(x)≤m(x2-1)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),然后求解切線的斜率,求切點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可求切線方程.
(Ⅱ)先求導(dǎo)函數(shù),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間和極值.

解答 解:(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),可得f′(x)=1+lnx,
∴f′(1)=1,f(1)=0,
∴曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程y-0=1×(x-1)
即y=x-1.
(Ⅱ)函數(shù)g(x)=f(x)+x2-3x=xlnx+x2-3x,
∴g′(x)=1+lnx+2x-3=lnx+2x-2,
令g(x)=0,解得x=1,
當(dāng)g′(x)>0時,解得x>1,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,
由g′(x)<0,解得0<x<1,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
故函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減,
當(dāng)x=1時,函數(shù)有極小值,極小值為g(1)=-2,無極大值
(Ⅲ)∵?x≥1,f(x)≤m(x2-1)成立,
∴m≥$\frac{xlnx}{{x}^{2}-1}$,
令h(x)=$\frac{xlnx}{{x}^{2}-1}$,
$\underset{lim}{x→1}$$\frac{xlnx}{{x}^{2}-1}$=$\underset{lim}{x→1}$$\frac{1+lnx}{2x-1}$=$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間,注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的方法判斷單調(diào)性,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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A.B.C.D.

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15.如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果為( 。
A.5B.7C.8D.13

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16.若圓C:x2+(y+1)2=4,點(diǎn)$A(-\sqrt{5},-1)$和點(diǎn)$B(3\sqrt{5},a)$,從點(diǎn)A觀察點(diǎn)B,要使視線不被圓C擋住,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>8$\sqrt{5}$-1或a<-8$\sqrt{5}$-1.

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13.一個棱長為2的正方體被一個平面截去一部分后,剩余幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的體積為( 。
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