Question

已知函數(shù)，（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)任意的，恒成立，求的最小值；
（3）若對(duì)任意給定的，在上總存在兩個(gè)不同的，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為；（2）實(shí)數(shù)的最小值為；
（3）實(shí)數(shù)的取值范圍是.

試題分析：（1）把代入函數(shù)的解析式，直接利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在定義域上的單調(diào)區(qū)間；（2）利用參數(shù)分離法將問題中的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍，從而求出的最小值；（3）先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的值域，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并求出方程的唯一根，將條件“對(duì)于任意給定的
，在總存在兩個(gè)不同的，使得”轉(zhuǎn)化為“函數(shù)在區(qū)間上存在唯一極值點(diǎn)，即，且函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上的值域均包含函數(shù)在區(qū)間上的值域”，從而列出相應(yīng)的不等式進(jìn)行求解參數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，，
由，，由，，
故的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；
（2）即對(duì)，恒成立，
令，，則，
再令，，，
在上為減函數(shù)，于是，
從而，，于是在上為增函數(shù)，，
故要恒成立，只要，即的最小值為；
（3），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
，，，
所以，函數(shù)在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030433034429.png" style="vertical-align:middle;" />.
當(dāng)時(shí)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，，
故，，    ①
此時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，、的變化情況如下：

	單調(diào)減	最小值	單調(diào)增

，，，，
所以，對(duì)任意給定的，在區(qū)間上總存在兩個(gè)不同的，
使得成立，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件
，即 
令，，
，令，得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，對(duì)任意，有，
即②對(duì)任意恒成立，
由③式解得：，   ④
綜合①④可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意給定的，
在總存在兩個(gè)不同的，使得成立.