Question

已知雙曲線的右焦點是F，右頂點是A，虛軸的上端點是B，且，∠BAF=120°．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點P（0，4）的直線l交雙曲線C于M、N兩點，交x軸于點Q（點Q與雙曲線C的頂點不重合），當，且時，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由條件可知A，B，F(xiàn)的坐標根據(jù)和聯(lián)立求得a和c，進而求得b．雙曲線方程可得．
（Ⅱ）設(shè)l的方程，M和N的坐標，依題意可得Q的坐標，根據(jù)表示出x₁和y₁，把M代入雙曲線方程整理后求得k，點Q的坐標可得．
解答：解：（Ⅰ）由條件知A（a，0），B（0，b）F（c，0）．
．①
．∴c=2a．②
解①，②得a=1，c=2．則b²=c²-a²=3．
故雙曲線C的方程為．
（Ⅱ）由題意知直線l的斜率k存在且不等于零，
設(shè)l的方程為：．
∴．
∴．
∴
∵M（x₁，y₁）在雙曲線C上，
∴．
∴．
∴．
同理．
若16-k²=0，則直線l過項點，不合題意，∴16-k²≠0
∴的兩根
∴．
∴k²=9，此時△＞0，∴k=±3．
∴所求Q點的坐標為．
點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程．考查了學生綜合運用所學知識的能力．