已知函數(shù),h(x)=2alnx,.
(1)當(dāng)a∈R時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)是否存在實數(shù)a,對任意的,且,都有
恒成立,若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.
(1)詳見解析;(2)不存在.
解析試題分析:(1)討論函數(shù)的單調(diào)性,在定義域內(nèi)研究其導(dǎo)函數(shù)的符號即可.先求導(dǎo)函數(shù)
,因為定義域為,故只需討論分子符號,可結(jié)合二次函數(shù)的圖象判斷,此時①需討論交點的大小,②注意根與定義域比較,所以需和-2和0比較大;(2)由對稱性,不妨設(shè),去分母得,構(gòu)造函數(shù),則其在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,故在恒成立,而,分子二次函數(shù)開口向上,不可能永遠(yuǎn)小于0,故不存在.
試題解析:(1),∴ , 的定義域為.
①當(dāng)時,在上是減函數(shù),在在上是增函數(shù);
②當(dāng)時,在上是增函數(shù);在是是減函數(shù);在上是增函數(shù);
③當(dāng)時,在上是增函數(shù);
④當(dāng)時,在上是增函數(shù);在上是減函數(shù);在上是增函數(shù).
(2)假設(shè)存在實數(shù),對任意的,且,都有恒成立,不妨設(shè),要使,即.
令 ,只要在為減函數(shù).
又,由題意在上恒成立,得不存在.
考點:1、導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用;2、二次函數(shù)的圖象;3、函數(shù)思想的應(yīng)用.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
若函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x1,x2∈D,均有|f(x2)-f(x1)|≤|x2-x1|,則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的“平緩函數(shù)”.
(1)判斷g(x)=sin x和h(x)=x2-x是不是實數(shù)集R上的“平緩函數(shù)”,并說明理由;
(2)若數(shù)列{xn}對所有的正整數(shù)n都有|xn+1-xn|≤,設(shè)yn=sin xn,求證:|yn+1-y1|<.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
上海某化學(xué)試劑廠以x千克/小時的速度生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求),為了保證產(chǎn)品的質(zhì)量,需要一邊生產(chǎn)一邊運輸,這樣按照目前的市場價格,每小時可獲得利潤是元.
(1)要使生產(chǎn)運輸該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元,求x的取值范圍;
(2)要使生產(chǎn)運輸900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大,問:該工廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度?并求最大利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)為常數(shù)).
(Ⅰ)求函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)若,,求函數(shù)的值域;
(Ⅲ)若函數(shù)的圖像恒在直線的上方,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
定義,,.
(1)比較與的大;
(2)若,證明:;
(3)設(shè)的圖象為曲線,曲線在處的切線斜率為,若,且存在實數(shù),使得,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
若非零函數(shù)對任意實數(shù)均有,且當(dāng)時
(1)求證:;
(2)求證:為R上的減函數(shù);
(3)當(dāng)時, 對時恒有,求實數(shù)的取值范圍.
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