Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形為正方形，已知平面，，.

（1）證明：；

（2）求與平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在一點，使得平面平面？若存在，求的值并證明，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，，理由見解析

【解析】

（1）如圖，連接交于點，證明平面得到答案.

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，計算平面的法向量為，再利用向量夾角公式計算得到答案.

（3）存在，設(shè)，則，則平面的法向量為

，利用向量垂直計算得到答案.

（1）如圖，連接交于點，由于平面，平面

所以，即

由于，，，所以平面

又因為平面，因此

（2）由于平面，平面，平面，

所以，又，所以，，兩兩垂直，

因比，如圖建立空間直角坐標(biāo)系

，，，

因此，，

設(shè)平面的法向量為，則即

取，，，則

設(shè)直線與平面所成角為，

（3）存在，設(shè)，則

則，

設(shè)平面的法向量為，則，

即，即，，

則，若平面平面，則

即，則

因此在棱上存在點，使得平面平面，