Question

13．設x，m，n，y成等差數(shù)列，x，p，q，y成等比數(shù)列，則$\frac{{{{（{m+n}）}^2}}}{pq}$的取值范圍是（-∞，0]∪[4，+∞）．

Answer 1

分析 由已知得m+n=x+y，pq=xy，從而$\frac{{{{（{m+n}）}^2}}}{pq}$=$\frac{（x+y）^{2}}{xy}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}+2$，由此能求出$\frac{{{{（{m+n}）}^2}}}{pq}$的取值范圍．

解答 解：∵設x，m，n，y成等差數(shù)列，x，p，q，y成等比數(shù)列，
∴m+n=x+y，pq=xy，
∴$\frac{{{{（{m+n}）}^2}}}{pq}$=$\frac{（x+y）^{2}}{xy}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}+2$，
∴當xy＞0時，$\frac{{{{（{m+n}）}^2}}}{pq}$=$\frac{（x+y）^{2}}{xy}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}+2$≥2+2=4，
當xy＜0時，$\frac{{{{（{m+n}）}^2}}}{pq}$=$\frac{（x+y）^{2}}{xy}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}+2$≤-2+2=0．
∴$\frac{{{{（{m+n}）}^2}}}{pq}$的取值范圍是（-∞，0]∪[4，+∞）．
故答案為：（-∞，0]∪[4，+∞）．

點評 本題考查代數(shù)式的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列、等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．