Question

如圖所示，已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個(gè)點(diǎn)Q滿足PQ⊥QD，則a=（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：利用三垂線定理的逆定理、直線與圓相切的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)即可求出．

解答： 解：連接AQ，取AD的中點(diǎn)O，連接OQ．
∵PA⊥平面ABCD，PQ⊥DQ，
由三垂線定理的逆定理可得DQ⊥AQ．
∴點(diǎn)Q在以線段AD的中點(diǎn)O為圓心的圓上，
又∵在BC上有且僅有一個(gè)點(diǎn)Q滿足PQ⊥DQ，∴BC與圓O相切，（否則相交就有兩點(diǎn)滿足垂直，矛盾．）
∴OQ⊥BC，
∵AD∥BC，∴OQ=AB=1，∴BC=AD=2．
故選B．

點(diǎn)評：本題體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，轉(zhuǎn)化為以AD為直徑的圓與邊BC有交點(diǎn)，熟練掌握三垂線定理的逆定理、直線與圓相切的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．