Question

已知

a

=(cosx+sinx，sinx)，

b

=(cosx-sinx，2cosx)，設(shè)f(x)=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期，并寫出f（x）的減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)向量的坐標(biāo)求得函數(shù)f（x）得解析式，然后利用兩角和公式對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得三角函數(shù)遞減時(shí)2x+

π

4

的范圍，進(jìn)而確定x的范圍，求得函數(shù)的減區(qū)間．
（2）根據(jù)x的范圍確定2x+

π

4

的范圍，進(jìn)而確定sin（2x+

π

4

）的范圍，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最大和最小值．

解答：解：由題意，得f(x)=

a

•

b

=(cosx+sinx)(cosx-sinx)+2sinxcosx=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)
（1）T=

2π

2

=π，

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z
解得

π

8

+kπ≤x≤

5

8

π+kπ，k∈Z
∴f（x）的減區(qū)間為：[

π

8

+kπ，

5

8

π+kπ]，k∈Z
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5

4

π]
∴-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1，
故f(x)max=f(

π

8

)=

2

，f(x)min=f(

π

2

)=-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的最值，平面向量積的運(yùn)算，三角函數(shù)的周期性以及兩角和公式的化簡(jiǎn)求值．考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)綜合的運(yùn)用．