Question

設(shè)A、B是雙曲線(xiàn)x²-=1的上兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，2）是線(xiàn)段AB的中點(diǎn).（1）求直線(xiàn)AB的方程；（2）如果線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于C、D兩點(diǎn)，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？為什么？

Answer 1

1、直線(xiàn)AB的方程為y=x+1

2、A、B、C、D四點(diǎn)共圓.

解析:

（1）依題意，可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k(x-1)+2，代入x²-=1,整理得（2-k²）x²-2k(2-k)x-(2-k)²-2=0①.記A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),則x₁,x₂是方程①的兩個(gè)不同的根，所以2-k²≠0,且x₁+x₂=.由N（1，2）是AB的中點(diǎn)得（x₁+x₂）=1,∴k(2-k)=2-k²,解得k=1,所以直線(xiàn)AB的方程為y=x+1

.(2)將k=1代入方程①得x²-2x-3=0.解出x₁=-1,x₂=3.由y=x+1得y₁=0,y₂=4.即A、B的坐標(biāo)分別為（-1，0）和（3，4）.由CD的垂直平分AB，得直線(xiàn)CD的方程為y=-(x-1)+2，即y=3-x，代入雙曲線(xiàn)方程，整理得x²+6x-11=0.②記C（x₃,y₃）,D(x₄,y₄),以及CD的中點(diǎn)為M（x₀,y₀），則x₃,x₄是方程②的兩根，所以x₃+x₄=-6,x₃x₄=-11.從而x₀=(x₃+x₄)=-3,y₀=3-x₀=6.|CD|====4.∴|MC|=|MD|=|CD|=2.又∵|MA|=|MB|===2.即A、B、C、D四點(diǎn)到M的距離相等，所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓.