Question

【題目】已知奇函數(shù).

（1）求函數(shù)的值域；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并給出證明；

（3）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，求m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)當(dāng)有意義的奇函數(shù)圖象過坐標(biāo)原點，，求得參數(shù)的值，利用不等式的性質(zhì)求函數(shù)的值域，得到結(jié)果；

（2）應(yīng)用定義判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；

（3）利用函數(shù)零點的個數(shù)，對式子進行化簡，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程有兩個不等實根，考慮函數(shù)圖象的走向，求得結(jié)果.

（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，且定義域為R，

所以有，即，解得，

所以，

因為，所以，，

所以，，

所以函數(shù)的值域為；

（2）為上的增函數(shù)，證明如下：

任取，且，則

，

因為，所以，所以，

所以，

所以函數(shù)為上的增函數(shù)；

（3）函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，

即在上有兩個不同的實數(shù)根，

整理得，

設(shè)，所以，

則當(dāng)時，，

綜合考慮可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

且，，，

要使函數(shù)有兩個零點，可以得到的取值范圍是.