Question

4．已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，AB=2PA，E是線段BC的中點．
（Ⅰ）求異面直線PE和CD所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求平面PAE與平面PCD所成銳二面角的余弦值；
（Ⅲ）在線段PD上是否存在一點F，使得CF∥平面PAE，并給出證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AE⊥BC，AE⊥AD，PA⊥AE，PA⊥AD，以AE、AD、AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線PE和CD所成的角的余弦值．
（Ⅱ）求出平面PCD的法向量和平面PAE的一個法向量，利用向量法能求出平面PAE與平面PCD所成銳二面角的余弦值．
（Ⅲ）假設在線段PD上存在一點F，使得CF∥平面PAE．利用向量法求出當F為線段PD中點時，CF∥平面PAE．

解答 解：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是∠ABC=60°的菱形，E是BC的中點，
∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AE，PA⊥AD，
以AE、AD、AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
設AB=2，則B（$\sqrt{3}，-1，0$），E（$\sqrt{3}，0，0$），C（$\sqrt{3}，1，0$），P（0，0，1），
$\overrightarrow{PE}$=（$\sqrt{3}，0，-1$），$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），
設異面直線PE和CD所成的角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{PE}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{3}{4}$，
∴異面直線PE和CD所成的角的余弦值為$\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）設平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{PC}=（\sqrt{3}，1，-1）$，$\overrightarrow{PD}=（0，2，-1）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}x+y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=2y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，2\sqrt{3}$），
又PD⊥平面PAE，∴$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0）是平面PAE的一個法向量，
設平面PAE與平面PCD所成銳二面角為α，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴平面PAE與平面PCD所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（Ⅲ）假設在線段PD上存在一點F，使得CF∥平面PAE．
∵$\overrightarrow{AD}$⊥平面PAE，∴$\overrightarrow{AD}⊥\overrightarrow{CF}$，
設$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PD}=（0，2λ，-λ）$，0≤λ≤1，
則$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{PF}-\overrightarrow{PC}$=（-$\sqrt{3}$，2λ-1，-λ+1），
則$\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{AD}$=4λ-2=0，解得$λ=\frac{1}{2}$．
∴當F為線段PD中點時，CF∥平面PAE．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足條件的點的位置的確定與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．