Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件；

（3）在（2）條件下，若成等比數(shù)列，用表示t.

Answer 1

【答案】（1）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）；（3）.

【解析】

（1）將代入，用分類討論的去掉絕對(duì)值符號(hào)后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)得解；

（2）用分類討論的去掉絕對(duì)值符號(hào)得分段函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出滿足條件的的關(guān)系；

（3）由韋達(dá)定理得兩兩互為倒數(shù)，結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)及韋達(dá)定理可用表示出．

（1）時(shí)，，

易知在時(shí)，是增函數(shù)，是減函數(shù)，

所以的單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間是．

（2），

，

當(dāng)時(shí)，

在是遞增，在上遞減，不合題意；

當(dāng)時(shí)， 時(shí)，由得，在上單調(diào)遞減，在是單調(diào)遞增，

時(shí)，由得，在上單調(diào)遞減，在是單調(diào)遞增，

又，，

∴實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件是．

（3），即或，

即或,

在中用代換得，即，

∴方程與方程的根互為倒數(shù)．

設(shè)這四個(gè)根從小到大依次為，則，

所以，

若成等比數(shù)列，則，，，．

∴，，

，

∴，

∴．