Question

已知，AB為圓O的直徑，CD為垂直AB的一條弦，垂足為E，弦AG交CD于F．
（1）求證：E、F、G、B四點(diǎn)共圓；
（2）若GF=2FA=4，求線(xiàn)段AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,立體幾何

分析：（1）連結(jié)BG，由AB為直徑可知∠AGB=90°，又CD⊥AB，由此能證明E、F、G、B四點(diǎn)共圓；
（2）連結(jié)BC，由E、F、G、B四點(diǎn)共圓，運(yùn)用切割線(xiàn)定理，得AF•AG=AE•BA，再由直角三角形ABC中的射影定理，得AC²=AE•BA，代入數(shù)據(jù)，即可求出線(xiàn)段AC的長(zhǎng)．

解答： （1）證明：如圖，連結(jié)BG，
由AB為直徑可知∠AGB=90°
又CD⊥AB，所以∠BEF=∠AGB=90°，
因此E、F、G、B四點(diǎn)共圓．
（2）解：連結(jié)BC，由E、F、G、B四點(diǎn)共圓，
所以AF•AG=AE•BA，
在Rt△ABC中，AC²=AE•BA，
由于GF=2FA=4，得AF=2，F(xiàn)G=4，即有AG=6，
所以AC²=2×6，
故AC=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查四點(diǎn)共圓的證明，考查運(yùn)用圓的切割線(xiàn)定理和直角三角形的射影定理，求線(xiàn)段長(zhǎng)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．