Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}sin\frac{x}{4}，1$），$\overrightarrow{n}$=（$cos\frac{x}{4}，co{s}^{2}\frac{x}{4}$）．
（1）若$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=1，求cos（$\frac{2π}{3}$-x）的值；
（2）記f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$在△ABC中角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)量積等式并化簡(jiǎn)，得到sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，觀察所求與已知角的關(guān)系，利用誘導(dǎo)公式解答；
（2）利用已知的三角等式化簡(jiǎn)，求得B，結(jié)合（1）的解析式以及角度范圍求f（A）的范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}+co{s}^{2}\frac{x}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin\frac{x}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$
=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=1，
所以sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
∴cos（x+$\frac{π}{3}$）=1-2sin²（$\frac{x}{2}+\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
∴cos（$\frac{2π}{3}-x$）=-cos（x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$．
（2）（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$．
∴0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜\frac{A}{2}+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，
∴sin（$\frac{A}{2}+\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1）．
又∵f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴f（A）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈（1，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積公式的運(yùn)用以及三角函數(shù)恒等式的變形；熟練運(yùn)用倍角公式化簡(jiǎn)是關(guān)鍵；本題注意A 的范圍．