Question

【題目】2018年“雙十一”期間，某商場舉辦了一次有獎促銷活動，顧客消費每滿1000元可參加一次抽獎(例如：顧客甲消費930元，不得參與抽獎；顧客乙消費3400元，可以抽獎三次)。如圖1，在圓盤上繪制了標有A，B，C，D的八個扇形區(qū)域，每次抽獎時由顧客按動按鈕使指針旋轉(zhuǎn)一次，旋轉(zhuǎn)結(jié)束時指針會隨機停在圓盤上的某一個位置，顧客獲獎的獎次由指針所指區(qū)域決定(指針與區(qū)域邊界線粗細忽略不計)。商家規(guī)定：指針停在標A，B，C，D的扇形區(qū)域分別對應(yīng)的獎金為200元、150元、100元和50元。已知標有A，B，C，D的扇形區(qū)域的圓心角成等差數(shù)列，且標D的扇形區(qū)域的圓心角是標A的扇形區(qū)域的圓心角的4倍．

(I)某顧客只抽獎一次，設(shè)該顧客抽獎所獲得的獎金數(shù)為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(II)如圖2，該商場統(tǒng)計了活動期間一天的顧客消費情況．現(xiàn)按照消費金額分層抽樣選出15位顧客代表，其中獲得獎金總數(shù)不足100元的顧客代表有7位．現(xiàn)從這7位顧客代表中隨機選取兩位，求這兩位顧客的獎金總數(shù)和仍不足100元的概率．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）分別計算出X=50,100,150,200對應(yīng)的概率，計算期望，即可。（2）結(jié)合古典概型，計算出，結(jié)合，即可。

解：（1）設(shè)標有A,B,C,D的扇形區(qū)域的圓心角分別為

由題意知：

所以顧客抽獎一次，獲得獎金X可能取值為50,100,150,200，所對應(yīng)的概率分別為

所以X的分布列為

X	50	100	150	200
P

期望

（2）由已知得：

1消費金額位于內(nèi)的顧客，獲獎金額一定高于100元，

2消費金額位于內(nèi)的顧客獲獎金額為0元，

3消費金額位于內(nèi)的顧客獲獎金額可能為50,100,150,200元

分層抽樣得 內(nèi)抽到的顧客代表人數(shù)為人，

則獲得獎金總數(shù)不足100元的剩余4位顧客代表必然獲得獎金數(shù)為50元.

設(shè)獲獎金額為0元的三位顧客代表為，獲獎金額為50元的四位顧客代表為

事件 “從這7位顧客代表中隨機選取兩位的獎金總數(shù)仍不足100元”

“從這7位顧客代表中隨機選取兩位的獎金總數(shù)等于100元”

從這7位顧客代表中隨機選取兩位的基本事件空間為：

共有21個基本事件；

共有6個基本事件。

從這7位顧客代表中隨機選取兩位，他們的獎金總數(shù)仍不足100元的概率為