Question

（2013•威海二模）如圖1，在梯形ABCD中，BC∥DA，BE⊥DA，EA=EB=BC=2，DE=1，將四邊形DEBC沿BE折起，使平面DEBC垂直平面ABE，如圖2，連結(jié)AD，AC．
（Ⅰ）若F為AB中點(diǎn)，求證：EF∥平面ADC；
（Ⅱ）若

AM

=λ

AC

，且BM與平面ADC所成角的正弦值為

2 2

3

，試確定點(diǎn)M的位置．

Answer 1

分析：（I）取AC中點(diǎn)N，連接FN，DN，F(xiàn)E，由三角形中位線定理及平行四邊形判定定理可得四邊形FNDE為平行四邊形，進(jìn)而EF∥ND，結(jié)合線面平行的判定定理可得EF∥平面ADC；
（Ⅱ）分別以EA，EB，ED所在直線為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，求出線段BM的方向向量（含參數(shù)λ）及平面ADC法向量，代入向量夾角公式，求出λ值，可得點(diǎn)M的位置．

解答：證明：（I）取AC中點(diǎn)N，連接FN，DN，F(xiàn)E，
∵F，N分別是AB，AC的中點(diǎn)
∴FN∥BC且FN=

1

2

BC
又∵DE∥BC且DE=

1

2

BC
∴FN∥DE且FN=DE
∴四邊形FNDE為平行四邊形
∴EF∥ND
又∵EF?平面ACD，DN?平面ACD，
∴EF∥平面ADC；
（Ⅱ）∵平面DEBC⊥平面ABE，平面DEBC∩平面ABE=BE，AE⊥BE，AE?平面ABE
∴AE⊥平面DEBC
又∵DE?平面DEBC
∴AE⊥DE
由已知中DE⊥BE，AE⊥BE，故可以EA，EB，ED所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
 則E（0，0，0），D（0，0，1），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，2）
∴

AD

=（-2，0，1），

AC

=（-2，2，2）
設(shè)平面ADC的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z）
則

n • AD  =0 n • AC =0

，即

-2x+z=0 -2x+2y+2z=0

令x=1，則

n

=（1，-1，2）
∵BM與平面ADC所成角的正弦值為

2 2

3

，
∴|cos＜

BM

，

n

＞|=

2 2

3

設(shè)M（a，b，c），由

AM

=λ

AC

得（a-2，b，c）=λ（-2，2，2）
∴M（2-2λ，2λ，2λ）
∴

BM

=（2-2λ，2λ-2，2λ）
∴|cos＜

BM

，

n

＞|=

|2-2λ+2-2λ+4λ|

2 2(1-λ)2+λ2 1+1+4

=

2 2

3

即12λ²-16λ+5=0
解得λ=

1

2

或λ=

5

6

故M點(diǎn)位于AC的中點(diǎn)或靠近C點(diǎn)的六等分點(diǎn)上

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的判定，用空間向量求直線與平面的夾角，其中（I）的關(guān)鍵是熟練掌握線面平行的判定定理，（II）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將線面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．