Question

已知函數(shù)，其中常數(shù)a > 0．

(1) 當(dāng)a = 4時(shí)，證明函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)；

(2) 求函數(shù)f(x)的最小值．

 

Answer 1

【答案】

解：(1) 當(dāng)時(shí)，，利用“定義法”證明。

(2)

【解析】

試題分析：

思路分析：(1) 當(dāng)時(shí)，，利用“定義法”證明。執(zhí)行“設(shè)、算、證、結(jié)”。

 (2)應(yīng)用均值定理及“對號函數(shù)”的單調(diào)性，分，即和，即兩種情況討論得到：。

解：(1) 當(dāng)時(shí)，，

任取0<x₁<x₂≤2，則f(x₁)–f(x₂)=

因?yàn)?<x₁<x₂≤2，所以f(x₁)–f(x₂)>0，即f(x₁)>f(x₂)

所以函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)；

(2)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，

當(dāng)，即時(shí)，的最小值為，

當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，

綜上所述：

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性，“對號函數(shù)的性質(zhì)”，均值定理的應(yīng)用。

點(diǎn)評：中檔題，本題綜合性較強(qiáng)，研究函數(shù)的單調(diào)性，可以利用導(dǎo)數(shù)，也可以利用常見函數(shù)的單調(diào)性。應(yīng)用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”。