Question

定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：①對任意x，y∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)=f(

x+y

1-xy

)； ②當x∈（-1，0）時，f（x）＞0，回答下列問題．
（1）證明：函數(shù)f（x）在（-1，1）上的圖象關(guān)于原點對稱；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并說明理由．
（3）證明：f(

1

7

)+f(

1

13

)+…+f(

1

n2+3n+3

)＞f(

1

2

)，（n∈Z）．

Answer 1

分析：（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性：①判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱，②判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系；
（2）證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用定義，分五步①設(shè)元，②作差，③變形，④判號，⑤下結(jié)論；
（3）利用題中所給的等式，把要求的與已知的相結(jié)合，將f(

1

7

)+f(

1

13

)+…+f(

1

n2+3n+3

)轉(zhuǎn)化成f(

1

2

)-f(

1

n+2

)，然后根據(jù)單調(diào)性可判斷符號，從而得到結(jié)論．

解答：解：（1）令x=y=0，則2f（0）=f（0）即f（0）=0，
令y=-x，則f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)；
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(

x1-x2

1+x1x2

)，
而x₁-x₂＜0，1+x₁x₂＞0⇒

x1-x2

1+x1x2

＜0⇒f(

x1-x2

1+x1x2

)＞0，
即當x₁＜x₂時，f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
（3）f(

1

n2+3n+3

)=f[

1

(n+1)(n+2)+1

]=f[

1 (n+1)(n+2)

1+ 1 (n+1)(n+2)

]
=f[

1 n+1 - 1 n+2

1- 1 n+1 •(- 1 n+2 )

]=f(

1

n+1

)+f(-

1

n+2

)=f(

1

n+1

)-f(

1

n+2

)，
∴f(

1

7

)+f(

1

13

)+…+f(

1

n2+3n+3

)
=[f(

1

2

)-f(

1

3

)]+[f(

1

3

)-f(

1

4

)]+…+[f(

1

n+1

)-f(

1

n+2

)]
=f(

1

2

)-f(

1

n+2

)，
∵0＜

1

n+2

＜1，且f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，
∴f(

1

n+2

)＜f(0)=0，
∴f(

1

2

)-f(

1

n+2

)＞f(

1

2

)，
∴f(

1

7

)+f(

1

13

)+…+f(

1

n2+3n+3

)＞f(

1

2

)．

點評：本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，與具體函數(shù)的證明方法相同，做題一定要抓牢定義，特別是證明題，一切方法源根本．屬于中檔題．