Question

某種商品的成本為5元/件，開(kāi)始按8元/件銷(xiāo)售，銷(xiāo)售量為50件，為了獲得最大利潤(rùn)，商家先后采取了提價(jià)與降價(jià)兩種措施進(jìn)行試銷(xiāo)．經(jīng)試銷(xiāo)發(fā)現(xiàn)：日銷(xiāo)售量Q（件）與實(shí)際銷(xiāo)售價(jià)x（元）滿(mǎn)足關(guān)系：
Q=

50-10(x-8)，8≤x＜13 39(2x2-29x+107)，(5＜x＜7) 198-6x x-5 ，(7≤x＜8)

（1）求總利潤(rùn)（利潤(rùn)=銷(xiāo)售額-成本）y（元）與銷(xiāo)售價(jià)x（件）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）試問(wèn)：當(dāng)實(shí)際銷(xiāo)售價(jià)為多少元時(shí)，總利潤(rùn)最大．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)利潤(rùn)=銷(xiāo)售額-成本，寫(xiě)出總利潤(rùn)y（元）與銷(xiāo)售價(jià)x（件）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)關(guān)系式，在每一段上討論函數(shù)的最大值，從而求出整個(gè)函數(shù)的最大值．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，得；
總利潤(rùn)y（元）與銷(xiāo)售價(jià)x（件）的函數(shù)關(guān)系式是
y=

39(2x2-29x+107)(x-5)，5＜x＜7 198-6x x-5 (x-5)，7≤x＜8 [50-10(x-8)](x-5)，8≤x＜13

=

39(2x3-39x2+252x-535)，5＜x＜7 6(33-x)，7≤x＜8 -10x2+180x-650，8≤x＜13

；
（2）由（1）得：
當(dāng)5＜x＜7時(shí)，y=39（2x³-39x²+252x-535），
∴y′=234（x²-13x+42）=234（x-6）（x-7），
當(dāng)5＜x＜6時(shí)，y′＞0，y=f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)6＜x＜7時(shí)，y′＜0，y=f（x）為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=6時(shí)，f（x）_max=f（6）=195；
當(dāng)7≤x＜8時(shí)，y=6（33-x）∈（150，156]；
當(dāng)8≤x＜13時(shí)，y=-10（x-9）²+160，
當(dāng)x=9時(shí)，y_max=160；
綜上知：當(dāng)x=6時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大值為195．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)列出函數(shù)解析式，從而分析函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題目．