Question

（本小題滿分12分）
函數(shù)，其中．
（Ⅰ）試討論函數(shù) 的單調(diào)性；
（Ⅱ）已知當(dāng)（其中 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，在 上至少
存在一點(diǎn)，使 成立，求 的取值范圍；
（Ⅲ）求證：當(dāng) 時(shí)，對(duì)任意，，有．

Answer 1

（Ⅰ）見解析
（Ⅱ）
（Ⅲ）證明見解析。

（Ⅰ）易知的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142440472589.gif" style="vertical-align:middle;" />．
．
由 得： 或．
∵，∴．
∴（1）當(dāng)時(shí)，則為增函數(shù)；
為減函數(shù)；
為增函數(shù)．
（2）當(dāng)時(shí)，則為增函數(shù)；
為減函數(shù)；
為增函數(shù)．                       5分
（Ⅱ）在上至少存在一點(diǎn)，使成立，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，．
∵，∴．
由（Ⅰ）知，時(shí)，為增函數(shù)，時(shí)，為減函數(shù)．
∴在時(shí)，．∴．
檢驗(yàn)，上式滿足，所以是所求范圍．                   8分
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)．構(gòu)造輔助函數(shù)，并求導(dǎo)得．
顯然當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)．
∴對(duì)任意，都有成立，即．
即．又∵，∴．      12分