Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足${S_n}+n=2{a_n}（n∈{N^*}）$．
（1）證明：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足${b_n}={a_n}•{log_2}（{a_n}+1）（n∈{N^*}）$，其前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用公式a_n+1=S_n+1-S_n即可得出a_n+1+1=2（a_n+1），故數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出a_n+1，從而得出a_n；
（2）化簡(jiǎn)b_n=n•2ⁿ-n，再使用分項(xiàng)求和和錯(cuò)位相減法求和得出T_n．

解答 解：（1）∵S_n+n=2a_n，∴S_n+1+（n+1）=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2a_n+1-2a_n，即a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁+1=2a₁，∴a₁=1．
∴{a_n+1}是以2為首選，以2為公比的等比數(shù)列．
∴a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1．
（2）b_n=（2ⁿ-1）log₂2ⁿ=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n．
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ-（1+2+3+…+n）
=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ-$\frac{（1+n）n}{2}$．
設(shè)1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ=A_n，
則1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹=2A_n，
兩式相減得2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=-A_n，
∴-A_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴A_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-$\frac{{n}^{2}+n}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比關(guān)系的判斷，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．