【題目】已知為拋物線的焦點(diǎn),過的動(dòng)直線交拋物線于,兩點(diǎn).當(dāng)直線與軸垂直時(shí),.
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)直線的斜率為1且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn),拋物線上存在點(diǎn)使得直線,,的斜率成等差數(shù)列,求點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由題意可得,即可求出拋物線的方程,
(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立消去,得,根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合直線,,的斜率成等差數(shù)列,即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)
解:(1)因?yàn)?/span>,在拋物線方程中,令,可得.
于是當(dāng)直線與軸垂直時(shí),,解得.
所以拋物線的方程為.
(2)因?yàn)閽佄锞的準(zhǔn)線方程為,所以.
設(shè)直線的方程為,
聯(lián)立消去,得.
設(shè),,,,則,.
若點(diǎn),滿足條件,則,
即,
因?yàn)辄c(diǎn),,均在拋物線上,所以.
代入化簡(jiǎn)可得,
將,代入,解得.
將代入拋物線方程,可得.
于是點(diǎn)為滿足題意的點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,上頂點(diǎn)為A,過的直線與y軸交于點(diǎn)M,滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),且直線l與直線之間的距離為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)在直線上是否存在點(diǎn)P,滿足?存在,指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)(不必求出點(diǎn)的坐標(biāo));若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知過橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)與坐標(biāo)軸垂直的四條直線圍成的矩形(是第一象限內(nèi)的點(diǎn))的面積為,且過橢圓的右焦點(diǎn)的傾斜角為的直線過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)若射線與橢圓的交點(diǎn)分別為.當(dāng)它們的斜率之積為時(shí),試問的面積是否為定值?若為定值,求出此定值;若不為定值,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知直三棱柱的底面為等腰直角三角形,點(diǎn)為線段的中點(diǎn).
(1)探究直線與平面的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若,求三棱錐的體積.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求的極值;
(2)若,且當(dāng)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】對(duì)于數(shù)列、,把和叫做數(shù)列與的前項(xiàng)泛和,記作為.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列與數(shù)列的前項(xiàng)的泛和為,且恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)從數(shù)列的前項(xiàng)中,任取項(xiàng)從小到大依次排列,得到數(shù)列、、、;再將余下的項(xiàng)從大到小依次排列,得到數(shù)列、、、.求數(shù)列與數(shù)列的前項(xiàng)的泛和
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中為正實(shí)數(shù).
(1)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,是以為斜邊的等腰直角三角形,是等邊三角形,,如圖②,將沿折起使平面平面分別為的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上,且,點(diǎn)在棱上,且.
(1)在棱上是否存在一點(diǎn),使平面平面?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】共享單車的投放,方便了市民短途出行,被譽(yù)為中國(guó)“新四大發(fā)明”之一.某市為研究單車用戶與年齡的相關(guān)程度,隨機(jī)調(diào)查了100位成人市民,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:
不小于40歲 | 小于40歲 | 合計(jì) | |
單車用戶 | 12 | 18 | 30 |
非單車用戶 | 38 | 32 | 70 |
合計(jì) | 50 | 50 | 100 |
(1)從獨(dú)立性檢驗(yàn)角度分析,能否有以上的把握認(rèn)為該市成人市民是否為單車用戶與年齡是否小于40歲有關(guān);
(2)將此樣本的頻率做為概率,從該市單車用戶中隨機(jī)抽取3人,記不小于40歲的單車用戶的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
下面臨界值表供參考:
P() | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.25 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中)
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