Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（2，0），直線(xiàn)l：x+y-5=0，點(diǎn)B（x，y）是圓C：x²+2x+y²-1=0上的動(dòng)點(diǎn)，AD⊥l，BE⊥l，垂足分別為D，E，則線(xiàn)段DE的最大值是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 由題意作出圖象，結(jié)合題意可知當(dāng)直線(xiàn)為AD時(shí)會(huì)使得要求的距離最大，然后把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)C（-1，0）到直線(xiàn)x-y-2=0的距離，即可求解．

解答 解：圓C：x²+2x+y²-1=0，即（x+1）²+y²=2．
如圖，過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)AD的垂線(xiàn)，交AD于點(diǎn)F，則DE=BF，所以此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)B到直線(xiàn)AD的距離的最大值，即圓心到直線(xiàn)x-y-2=0的距離加半徑．
易知直線(xiàn)AD的方程是x-y-2=0，點(diǎn)C（-1，0）到直線(xiàn)x-y-2=0的距離是$\frac{{|{-1-2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
所以DE的最大值是$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$+$\sqrt{2}$=$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題為距離的最值的求解，涉及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式以及平行線(xiàn)間的距離，屬中檔題．