Question

1．已知點P在雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$，且|PF₁|•|PF₂|=32，則△PF₁F₂的面積等于16．

Answer 1

分析 由雙曲線的方程算出F₁（-5，0），F₂（5，0）．再設|PF₁|=m，|PF₂|=n，由雙曲線的定義和余弦定理，結合題意建立關于m、n的方程組，解出∠F₁PF₂=90°，最后利用三角形的面積公式即可求出△PF₁F₂的面積．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$，
即a²=9，b²=16，
∴c²=25，解得a=3，c=5，可得F₁（-5，0），F₂（5，0），
設|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由雙曲線的定義知|m-n|=2a=6，又已知m•n=32，
在△PF₁F₂中，由余弦定理知cos∠F₁PF₂=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-（2c）^{2}}{2mn}$
=$\frac{（m-n）^{2}+2mn-4{c}^{2}}{2mn}$=$\frac{36+64-100}{64}$=0，
∴∠F₁PF₂=90°，
因此，△PF₁F₂的面積為S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$mn=16．
故答案為：16．

點評 本題給出雙曲線的焦點三角形中，在已知兩條焦半徑的積的情況下求三角形的面積．著重考查了雙曲線的定義與簡單幾何性質、正余弦定理和三角形面積公式等知識，屬于中檔題．