Question

5．漳州水仙鱗莖碩大，箭多花繁，色美香郁，素雅娟麗，有“天下水仙數(shù)漳州”之美譽(yù)．現(xiàn)某水仙花雕刻師受雇每天雕刻250粒水仙花，雕刻師每雕刻一�？少�1.2元，如果雕刻師當(dāng)天超額完成任務(wù)，則超出的部分每粒賺1.7元；如果當(dāng)天未能按量完成任務(wù)，則按實(shí)際完成的雕刻量領(lǐng)取當(dāng)天工資．
（I）求雕刻師當(dāng)天收入（單位：元）關(guān)于雕刻量n（單位：粒，n∈N）的函數(shù)解析式f（n）；
（Ⅱ）該雕刻師記錄了過去10天每天的雕刻量n（單位：粒），整理得如表：

雕刻量n	210	230	250	270	300
頻數(shù)	1	2	3	3	1

以10天記錄的各雕刻量的頻率作為各雕刻量發(fā)生的概率．
（ⅰ）求該雕刻師這10天的平均收入；
（ⅱ）求該雕刻師當(dāng)天收入不低于300元的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)n≥250時(shí)，f（n）=250×1.2+1.7×（n-250），當(dāng)n＜250時(shí)，f（n）=1.2n，由此能求出雕刻師當(dāng)天收入（單位：元）關(guān)于雕刻量n（單位：粒，n∈N）的函數(shù)解析式．
（Ⅱ）（i）由題意得f（210）=252，f（230）=276，f（250）=300，f（270）=334，f（300）=385，X的可能取值為252，276，300，334，385，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出該雕刻師這10天的平均收入．
（ii）由X的分布列知該雕刻師當(dāng)天收入不低于300元的概率：P=P（X=300）+P（X=334）+P（X=385），由此能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n≥250時(shí)，f（n）=250×1.2+1.7×（n-250）=1.7n-125，
當(dāng)n＜250時(shí)，f（n）=1.2n，
∴雕刻師當(dāng)天收入（單位：元）關(guān)于雕刻量n（單位：粒，n∈N）的函數(shù)解析式：
f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{1.7n-125，n≥250}\\{1.2n，n＜250}\end{array}\right.$，（n∈N）．
（Ⅱ）（i）由題意得f（210）=252，f（230）=276，f（250）=300，f（270）=334，f（300）=385，
∴X的可能取值為252，276，300，334，385，
P（X=252）=0.1，P（X=276）=0.2，P（X=300）=0.3，
P（X=334）=0.3，P（X=385）=0.1，
∴X的分布列為：

X	252	276	300	334	385
P	0.1	0.2	0.3	0.3	0.1

E（X）=252×0.1+276×0.2+300×0.3+334×0.3+385×0.1=338（元），
∴該雕刻師這10天的平均收入為338元．
（ii）由X的分布列知：
該雕刻師當(dāng)天收入不低于300元的概率：
P=P（X=300）+P（X=334）+P（X=385）
=0.3+0.3+0.1=0.7．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)解析式的求法，考查離散型隨機(jī)的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．