設(shè)函數(shù)f(x)=sinxsin(
π
2
+x)+cos2
x,在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a,b,c
(1)求f(x)的最大值;
(2)若f(A)=1,A+B=
12
,b=
6
,求A和a.
分析:(1)利用誘導(dǎo)公式化簡表達(dá)式,通過二倍角的正弦函數(shù)余弦函數(shù)以及兩角和的正弦函數(shù)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式,然后求f(x)的最大值;
(2)通過f(A)=1,求出A的值,通過A+B=
12
,求出B的值,結(jié)合b=
6
,利用正弦定理求出a,即可.
解答:解:(1)因?yàn)?span id="e8auyw8" class="MathJye">f(x)=sinxsin(
π
2
+x)+cos2x=sinxcosx+cos2x…(1分)
=
1
2
[sin2x+1+cos2x]
…(3分)
=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
.…(4分)
所以,當(dāng)sin(2x+
π
4
)=1
,
2x+
π
4
=
π
2
+2kπ
,
x=kπ+
π
8
(k∈Z)
時(shí),f(x)取得最大值,…(5分)
其最大值
2
+1
2
.…(6分)
(2)由f(A)=1得,
2
2
sin(2A+
π
4
)+
1
2
=1

sin(2A+
π
4
)=
2
2
.…(7分)
在△ABC中,因?yàn)锳∈(0,π),
所以2A+
π
4
∈(
π
4
,
4
)

sin(2A+
π
4
)=
2
2
>0
,
所以2A+
π
4
=
4
,A=
π
4
.…(9分)
又因?yàn)?span id="8syqsc4" class="MathJye">A+B=
12
,所以B=
π
3
.…(10分)
在△ABC中,
a
sinA
=
b
sinB
b=
6

a=
bsinA
sinB
=
6
×
2
2
3
2
=2
.…(12分)
點(diǎn)評:本題考查兩角和與差的三角函數(shù),二倍角的正弦函數(shù),誘導(dǎo)公式的應(yīng)用正弦定理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=sinx+tanx,x∈(-
π
2
π
2
)
,項(xiàng)數(shù)為25的等差數(shù)列an且公差d≠0,若f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a25)=0,則i=
 
有f(ai)=0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=sinx•cosx+
3
cos2x

(1)求f(x)的最小正周期;
(2)已知f(α)=
1
3
+
3
2
,α∈(
π
12
π
3
)
,求cos2α.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=sinx-
3
cosx+x+1

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在x=0處的切線方程;
(Ⅱ)記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c,f′(B)=3且a+c=2,求邊長b的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=|sinx+
2
3+sinx
+m|(x∈R,m∈R)
最大值為g(m),則g(m)的最小值為
3
4
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知設(shè)函數(shù)
f(x)=
sinx,(0≤x≤
π
2
)
-
π
2
x+2,(
π
2
<x≤π)
π
0
f(x)dx
=
-
π3
4
+π+1
-
π3
4
+π+1

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