【題目】（1）若動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線：的距離之比為，求證：動點(diǎn)的軌跡是橢圓；

（2）設(shè)（1）中的橢圓短軸的上頂點(diǎn)為，試找出一個以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，并使得、兩點(diǎn)也在橢圓上，并求出的面積；

（3）對于橢圓(常數(shù))，設(shè)橢圓短軸的上頂點(diǎn)為，試問：以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，且、兩點(diǎn)也在橢圓上的等腰直角三角形有幾個？

【答案】（1）見解析（2）（3）見解析

【解析】

（1）假設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo),利用條件,建立等式,化簡可判斷動點(diǎn)的軌跡;

（2）根據(jù)條件可知,,應(yīng)是關(guān)于軸對稱,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,從而可求 長,故可求面積;

（3）與（2）相同的求法,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,求,的長,利用即可得出答案.

（1）動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線：的距離之比為

，化簡可得:， 動點(diǎn)的軌跡是橢圓.

（2） 橢圓方程為,

又 等腰直角三角形是以為直角頂點(diǎn)，

不妨設(shè)點(diǎn)在軸左側(cè),則點(diǎn)在軸右側(cè)，

若直線、關(guān)于軸對稱且該三角形為等腰直角三角形，可取，則，

,,

聯(lián)立橢圓方程和直線方程可得:，

消掉:可得:，解得

故,可得

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得:

等腰直角三角形是以、為直角邊,

；

（3）橢圓方程為,，設(shè),

聯(lián)立橢圓方程和直線方程可得:，

消掉可得:, 解得，

又 根據(jù)弦長公式可得:，

同理可得，

， ，

化簡可得: ,即:，

可得或

當(dāng)且，即時,有三個解,即這樣的三角形有個；

當(dāng)時，即當(dāng)時，方程為，解得，這樣的三角形只有個；

當(dāng)時，即當(dāng)時，只有一個解,即這樣的三角形有個.

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（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；

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（3）對于函數(shù)，在定義域內(nèi)給定區(qū)間，如果存在，滿足，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，是它的一個“均值點(diǎn)”．如函數(shù)是上的平均值函數(shù)，就是它的均值點(diǎn)．現(xiàn)有函數(shù)是區(qū)間上的平均值函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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（1）若a＝1，證明：不等式f（x）≤g（x）對任意的x∈R成立；

（2）若對任意的m∈R，都有t∈R，使得f（m）＝g（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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