Question

如圖，在正方體ABCD=A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別是CB、CD、CC₁的中點．
（1）求證：AD₁∥平面EFG；
（2）求證：平面AB₁D₁∥平面EFG；
（3）求異面直線B₁D₁與EG所成的角度數(shù)．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）首先，連結(jié)C₁B，然后，得到四邊形ABC₁D₁是平行四邊形，從而得證；
（2）根據(jù)（1）可以證明AB₁∥平面EFG，從而證明；
（3）根據(jù)平行關(guān)系，得到∠FEG就是異面直線B₁D₁與EG所成的角，然后放到三角形中求解．

解答： 解：（1）連結(jié)C₁B，
∵AB∥B₁C₁，且AB=B₁C₁
∴四邊形ABC₁D₁是平行四邊形，
∴AD₁∥BC₁，
又∵E、G為中點，
∴BC₁∥EG，
∴AD₁∥EG，
∴AD₁∥平面EFG；
（2）結(jié)合（1），同理可以證明
AB₁∥平面EFG，
∵AB₁∩AD₁=A，
∴平面AB₁D₁∥平面EFG；
（3）∵BD∥B₁D₁，且BD∥EF，
∴∠FEG就是異面直線B₁D₁與EG所成的角，
在△EFG中，顯然為等邊三角形，
∴異面直線B₁D₁與EG所成的角為60°．

點評：本題重點考查了空間中平行關(guān)系、異面直線所成的角等知識，考查比較綜合，解題關(guān)鍵是學(xué)會轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的應(yīng)用．