Question

中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，率心率，此橢圓與直線交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓方程；
（2）若M是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求∠F₁MF₂的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓方程為.． ，，a²=2b²．橢圓方程化簡(jiǎn)為 ．橢圓與直線相交，解方程組：，由此能導(dǎo)出所求橢圓．
（2）在橢圓中，，|MF₁|+|MF₂|=2a，
=，其中：a≤|MF₂|≤a+c．由此能導(dǎo)出．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為.．
∵，，a²=2b²．
∴橢圓方程化簡(jiǎn)為 ．
∵橢圓與直線相交，解方程組：，
由①代入②，代簡(jiǎn)得．
根據(jù)韋達(dá)定理，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵OA⊥OB，x₁x₂+y₁y₂=0，③
由②得，
把④代入③，得，
∴b²=1
∴所求橢圓為．
（2）在橢圓中，，
∵|MF₁|+|MF₂|=2a，
∴
=
=
=
=
其中：a≤|MF₂|≤a+c．
當(dāng)|MF₂|=a時(shí)，cos∠F₁MF₂有最小值為0，
此時(shí)，∠F₁MF₂有最大值為，
當(dāng)|MF₂|=a+c時(shí)，即M點(diǎn)與橢圓長(zhǎng)軸左端點(diǎn)重合，∠F₁MF₂有最小值為0，故．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．