Question

16．如圖是從成都某中學(xué)參加高三體育考試的學(xué)生中抽出的60名學(xué)生體育成績（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖，該直方圖恰好缺少了成績在區(qū)間[70，80）內(nèi)的圖形，根據(jù)圖形的信息，回答下列問題：
（1）求成績在區(qū)間[70，80）內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；并估計(jì)這次考試的及格率（60分及以上為及格）；
（2）假設(shè)成績在[80，90）內(nèi)的學(xué)生中有$\frac{2}{3}$的成績在85分以下，從成績在[80，90）內(nèi)的學(xué)生中選出三人，記在85分以上（含85分）的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由各組的頻率和等于1，能求出成績在[70，80）內(nèi)的頻率，從而補(bǔ)全頻率分布直方圖，并能估計(jì)抽樣學(xué)生成績的及格率．
（2）由題意X的可能取值為0、1、2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1，
故成績在[70，80）內(nèi)的頻率為：
f₄=1-（0.01×2+0.015+0.020+0.005）×10=0.4．
頻率分布直方圖如右圖．
依題意，6（0分）及以上的分?jǐn)?shù)在第三、四、五、六段，
故其頻率和為（0.02+0.04+0.01+0.005）×10=0.75，
∴抽樣學(xué)生成績的及格率是75%
（2）∵成績在[80，90）內(nèi)的人數(shù)=0.01×10×60=6，
∴成績在[80，85）和[85，90）內(nèi)的人數(shù)分別為4人和2人．  
∴X的可能取值為0、1、2
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{0}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

∴E（X）=$0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖性質(zhì)的合理運(yùn)用．