Question

如圖示，已知圓C：（x+1）²+y²=16，定點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)A作AS⊥AC交曲線E于S，求|CS|；
（3）若Q是曲線E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求

QC

•

QA

的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)推出 NC+NM=r=4＞AC，再利用橢圓的定義知，點(diǎn)N的軌跡是以A、C 為焦點(diǎn)的橢圓，利用待定系數(shù)法求出橢圓的方程；
（2）求出S的坐標(biāo)，利用橢圓的定義，即可求解；
（3）表示出

QC

•

QA

，結(jié)合x的范圍，可得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，y），
∵

AM

=2

AP

，∴點(diǎn)P為AM的中點(diǎn)，
∵

NP

•

AM

=0，∴NP⊥AM，∴NP是線段AM的垂直平分線，∴NM=NA，
又點(diǎn)N在CM上，設(shè)圓的半徑是r，則r=4，
∴NC=r-NM，∴NC+NM=r=4＞AC，
∴點(diǎn)N的軌跡是以A、C 為焦點(diǎn)的橢圓，
∴2a=4，c=1，∴a=2，b=

3

，
∴曲線E的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）x=1時(shí)，y=±

3

2

，∴|AS|=

3

2

，∴|CS|=

5

2

；
（3）設(shè)Q（x，y），則

QC

•

QA

=（-1-x，-y）（1-x，-y）=x²-1+y²=2+

1

4

x2
∵0≤x²≤4
∴2≤2+

1

4

x2≤3
∴

QC

•

QA

的最小值2，最大值3．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合題，考查橢圓的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．