Question

【題目】設(shè)點(diǎn)，直線，點(diǎn)在直線上移動(dòng)， 是線段與軸的交點(diǎn), .

(Ⅰ) 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）直線與軸相交于點(diǎn),過(guò)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，

試探究點(diǎn)與以為直徑的圓的位置關(guān)系,并加以說(shuō)明．

Answer 1

【答案】（1）（2）點(diǎn)在以為直徑的圓上或外

【解析】試題分析：（1）由垂直平分線性質(zhì)將條件轉(zhuǎn)化為．再根據(jù)拋物線定義可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)， 為準(zhǔn)線的拋物線，最后根據(jù)性質(zhì)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程（2）直徑AB中點(diǎn)即圓心到直線的距離等于A、B兩點(diǎn)到直線的距離和的一半，而由拋物線定義有A、B兩點(diǎn)到直線的距離和為,因此以為直徑的圓與直線相切，進(jìn)而可判斷點(diǎn)與以為直徑的圓的位置關(guān)系

試題解析：解：(Ⅰ)依題意知： 是線段的垂直平分線．∴是點(diǎn)到直線的距離．∵點(diǎn)在線段的垂直平分線，∴．

故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)， 為準(zhǔn)線的拋物線， 其方程為： ．

（Ⅱ）法一：設(shè)A、B兩點(diǎn)到直線的距離分別為，

直徑AB中點(diǎn)N到直線的距離分別為，

由拋物線定義知, ∴

∴以為直徑的圓與直線相切

法二：

（1）當(dāng)AB垂直軸時(shí)，以為直徑的圓點(diǎn)為切點(diǎn)，

∴點(diǎn)與以為直徑的圓上

（2）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)， ∴點(diǎn)與以為直徑的圓外

①當(dāng)直線AB垂直于軸時(shí)，易知以為直徑的圓方程為，

點(diǎn)滿足方程，∴點(diǎn)與以為直徑的圓上

②當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，

設(shè)直線AB方程為 與拋物線交點(diǎn)， ，

聯(lián)立 ，

顯然且， 圓直徑

AB中點(diǎn)N的坐標(biāo)（，

，∴點(diǎn)與以為直徑的圓外