如圖,已知長(zhǎng)方體,直線與平面所成的角為,垂直于,為的中點(diǎn).
(I)求異面直線與所成的角;
(II)求平面與平面所成的二面角(銳角)的大;
(III)求點(diǎn)到平面的距離.
解法一:
在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,以AB所在的直線為x軸,以AD所在的直線為y軸,AA1所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖。
由已知AB=2,AA1=1可得A(0,0,0),B(2,0,0),F(1,0,1)。
又AD⊥平面AA1B1B,從而B(niǎo)D與平面AA1B1B所成的角為∠DB A=30°,
又AB=2,AE⊥BD,AE=1,AD=,
從而易得E(),D()
(I)∵,
∴
即異面直線AE,BF所成的角為
(II)易知平面AA1B的一個(gè)法向量m=(0,1,0)設(shè)是平面BDF的一個(gè)法向量,
由
取
∴
即平面與平面所成的二面角的大小(銳角)為
(III)點(diǎn)A到平面BDF的距離,即在平面BDF的法向量上的投影的絕對(duì)值,
所以距離
所以點(diǎn)A到平面的距離為
解法二: (Ⅰ)連結(jié)B1D1,過(guò)F作B1D1的垂線,垂足為K,
∵BB1與兩底面ABCD,A1B1C1D1都垂直,
∴
又
因此 FK∥AE.
∴∠BFK 為異面直線BF與AE所成的角。
連結(jié)BK,由FK⊥面BDD1B1得FK⊥BK。
從而 △BKF為Rt△
在Rt △BKF1和Rt△B1D1A1
由得
FK===
又 BF=
∴cos∠BFK=。
∴異面直線BF與AE所成的角為arcos。
(Ⅱ)由于DA⊥面AA1B,由A作BF的垂線AG,垂足為G,連結(jié)DG,由三垂線定理知BG⊥DG。
∴∠AGD即為平面BDF與平面AA1B所成二面角的平面角
且∠DAG=90°,在平面AA1B中,延長(zhǎng)BF與AA1交于點(diǎn)S。
∵F為A1B1的中點(diǎn),A1F∥AB。
∴A1、F分別為SA、SB的中點(diǎn)。
即SA=2A1A=2=AB。
∴Rt△BAS為等腰直角三角形,垂足G點(diǎn)實(shí)為斜邊SB的中點(diǎn)F,即F、G重合,
易得AG=AF=SB=,在Rt△BAS中,AD=,
∴tan∠AGD=
∴∠AGD=arctan
即平面BDF與平面AA1B所成二面角(銳角)的大小為arctan
(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面AFD是平面BDF與平面AA1B所成二面角的平面角所在的平面,
∴面AFD⊥面BDF。
在Rt△ADF中,由A作AH⊥DF于H,則AH即為點(diǎn)A到平面BDF的距離,
由 AH?DF=AD?AF,得
所以點(diǎn)A到平面BDF的距離為 。
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