Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，試求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題意和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式，列出關(guān)于a₁、d方程組，求出a₁、d的值，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求a_n；
（2）根據(jù)（1）化簡數(shù)列的通項(xiàng)

1

anan+1

，利用裂項(xiàng)相消法求出T_n．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
因?yàn)镾₄=4S₂，a_2n=2a_n+1，
所以

4a1+ 4×3 2 ×d=4(2a1+d) a1+(2n-1)d=2[a1+(n-1)d]+1

，
解得a₁=1、d=2，
所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1（n∈N^*）；…（6分）
（2）由（1）得，

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
所以

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，注意求數(shù)列的和應(yīng)先求出它的通項(xiàng)公式，這是常考的題型．