【題目】已知，是橢圓T.上的兩點，且A點位于第一象限.過A做x軸的垂線，垂足為點C，點D滿足，延長交T于點.

（1）設(shè)直線，的斜率分別為，.

（i）求證：；

（ii）證明：是直角三角形；

（2）求的面積的最大值.

【答案】（1）（i）見解析（ii）見解析（2）

【解析】

（1）（i）求出點D的坐標，用、表示出、即可得證；（ii）利用，都在T上可將兩點坐標代入橢圓方程，兩式相減并通過變形證明，由（i）可推出，則，得證；（2）直線AE的方程代入橢圓方程整理得關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達定理求出，由求出面積的表達式，利用換元法及對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得面積的最大值.

（1）（i）由題意可得，所以，

又，因此.

（ii）因為，都在T上，

所以，，從而，

即.

又，，所以，

由（i），則，即.

故是直角三角形.

（2）由（1）得，：，

將直線代入橢圓T，并整理可得，

所以.

，

因為，所以.

令，則，等號當且僅當時成立.

從而，

因為在上單調(diào)遞增，所以時，取得最小值，

故時，取得最大值.

練習冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)存在兩個極值點，（其中），且的取值范圍為，求的取值范圍.

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【題目】我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.甍，屋蓋也.”今有底面為正方形的屋脊形狀的多面體（如圖所示），下底面是邊長為2的正方形，上棱，EF//平面ABCD，EF與平面ABCD的距離為2，該芻甍的體積為（ ）

A.6B.C.D.12

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A.2B.C.D.

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【題目】如圖所示，正三棱柱的底面邊長為2， 是側(cè)棱的中點.

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【題目】已知橢圓的右焦點為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為，且與短軸兩端點的連線相互垂直.

（1）求橢圓的方程；

（2）若圓上存在兩點，，橢圓上存在兩個點滿足：三點共線，三點共線，且，求四邊形面積的取值范圍.

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【題目】如圖，四棱錐中，四邊形是菱形，，，E是上一點，且，設(shè).

（1）證明：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

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【題目】已知橢圓．

（1）若橢圓的離心率為，求的值；

（2）若過點任作一條直線與橢圓交于不同的兩點，在軸上是否存在點，使得， 若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

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【題目】為迎接年北京冬季奧運會，普及冬奧知識，某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動．現(xiàn)從參加冬奧知識競賽活動的學生中隨機抽取了名學生，將他們的比賽成績（滿分為分）分為組：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求的值；

（2）記表示事件“從參加冬奧知識競賽活動的學生中隨機抽取一名學生，該學生的比賽成績不低于分”，估計的概率；

（3）在抽取的名學生中，規(guī)定：比賽成績不低于分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于分為“非優(yōu)秀”．請將下面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計

男生

女生

合計

參考公式及數(shù)據(jù)：，．

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