Question

已知f（x）=x²-px+q，其中p＞0，q＞0．
（1）當p＞q時，證明

f(q)

p

＜

f(p)

q

；
（2）若f（x）=0在區(qū)間，（0，1]，（1，2]內各有一個根，求p+q的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系

專題：函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）當p＞q時，分別化簡

f(q)

p

、

f(p)

q

，再把它們作差判斷符號，即可證得結論．
（2）由題意可得

f(0)＞0 f(1)≤0 f(2)≥0

，求得

p-q≥1 2p-q≤4

，畫出點（p，q）（p＞0，q＞0）組成的可行域，由線性規(guī)劃知識求得p+q的范圍．

解答： 證明：（1）

f(q)

p

=

q2-pq+q

p

=

q2+q

p

-q，

f(p)

q

=

p2-p2+q

q

=1，
∴

f(q)

p

-

f(p)

q

=

q2+q

p

-q-1=

(q+1)(q-p)

p

，
∵p＞q＞0，
∴

(q+1)(q-p)

p

＜0，
即

f(q)

p

-

f(p)

q

＜0，
∴

f(q)

p

＜

f(p)

q

；        （4分）
解：（2）∵拋物線的圖象開口向上，且f（x）=0在區(qū)間（0，1]，（1，2]內各有一個根，
∴

f(0)＞0 f(1)≤0 f(2)≥0

⇒

q＞0 1-p+q≤0 4-2p+q≥0

⇒

p-q≥1 2p-q≤4.

∴點（p，q）（p＞0，q＞0）組成的可行域如圖所示，

設z=p+q，由線性規(guī)劃知識可知，1＜z=p+q≤5，即p+q∈（1，5]．

點評：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關系，二次函數(shù)的性質，等產數(shù)列的定義和性質，體現(xiàn)了數(shù)形結合、分類討論、轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．