Question

20．已知函數(shù)f（x）=3^x-$\frac{1}{{{3^{|x|}}}}$．
（1）若f（x）=0，求x的取值集合；
（2）若對于t∈[1，3]時，不等式3^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）=3^x-$\frac{1}{{{3^{|x|}}}}$，分x＜0與x≥0討論，由f（x）=0，即可求得x的取值集合；
（2）當t∈[1，3]時，f（t）=3^t-$\frac{1}{{3}^{t}}$＞0，于是不等式3^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立可化為m≥-3^2t-1恒成立，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）當x＜0時，f（x）=3^x-3^x=0恒成立；
當x≥0時，f（x）=3^x-$\frac{1}{{3}^{x}}$=0，解得：x=0；
綜上所述，x的取值集合為{x|x≤0}．
（2）∵t∈[1，3]，∴f（t）=3^t-$\frac{1}{{3}^{t}}$＞0．
∴3^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立可化為：
3^t（3^2t-$\frac{1}{{3}^{2t}}$）+m（3^t-$\frac{1}{{3}^{t}}$）≥0恒成立，
即3^t（3^t+$\frac{1}{{3}^{t}}$＞）+m≥0，即m≥-3^2t-1恒成立．
令g（t）=-3^2t-1，則g（t）在[1，3]上遞減，∴g（x）_max=g（1）=-10．
∴所求實數(shù)m的取值范圍是[-10，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查等價轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)方程思想的綜合運用，突出指數(shù)函數(shù)單調(diào)性與分離參數(shù)法的應用，屬于難題．