Question

已知函數(shù)f（x）=2^ax
（1）若f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）在[1，2]上的最大值與最小值的和為6，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)和底數(shù)之間的關(guān)系，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）=2^ax=（2^a）^x，在定義域為單調(diào)函數(shù)，建立方程即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=2^ax=（2^a）^x，
∴若f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
則0＜2^a＜1，即a＜0，
即實數(shù)a的取值范圍是a＜0．
（2）∵f（x）=2^ax=（2^a）^x，在定義域為單調(diào)函數(shù)，
∴若f（x）在[1，2]上的最大值與最小值的和為6，
即f（1）+f（2）=6，
∴2^a+2^2a=6，
即（2^a）²+2^a-6=0，
2^a=2或2^a=-3（舍去），
解得a=1．

點評：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．