Question

如圖，點(diǎn)P在矩形ABCD平面外，AB=3，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°．
（1）證明AD⊥平面PAB；
（2）求直線PC與平面ABCD所成的角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由勾股定理得AD⊥PA，由矩形性質(zhì)得AD⊥AB，由此能證明AD⊥平面PAB．
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于H，過(guò)點(diǎn)H作HE⊥BD于E，連結(jié)PE，由已知得∠PEH是二面角P-BD-A的平面角，由此能求出直線PC與平面ABCD所成的角的大�。�

解答： （1）證明：在△PAD中，由題設(shè)PA=2，PD=2

2

，
得PA²+AD²=PD²，
于是AD⊥PA，
在矩形ABCD中，AD⊥AB，又PA∩AB=A，
所以AD⊥平面PAB．
（Ⅱ）解：過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于H，過(guò)點(diǎn)H作HE⊥BD于E，連結(jié)PE，
因?yàn)锳D⊥平面PAB，PH?平面PAB，
所以AD⊥PH，又AD∩AB=A，
因而PH⊥平面ABCD，故HE為PE再平面ABCD內(nèi)的射影，
由三垂線定理可知，BD⊥PE，
從而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角．
由題設(shè)可得，
PH=PAsin60°=

3

，AH=PAcos60°=1，
∴BH=3-1=2，∴CH=

22+22

=2

2

，
∴tan∠PCH=

PH

CH

=

3

2 2

=

6

4

，
∴直線PC與平面ABCD所成的角的大小為arctan

6

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．