已知函數(shù)f(x)=ax2+ln(x+1).
(1)當(dāng)a=時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)y=f(x)圖像上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:(其中,e是自然數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù))
(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)(3)見解析
解析試題分析:
(1)函數(shù)f(x)是二次與對(duì)數(shù)的結(jié)合,求單調(diào)性可以利用導(dǎo)數(shù),以此先求定義域,求導(dǎo),求導(dǎo)函數(shù)大于0與小于0分別求出單調(diào)遞增與單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)要使得函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi),則當(dāng)時(shí),
不等式恒成立即可,即轉(zhuǎn)化了恒成立問題,則只需要,故考慮對(duì)求導(dǎo)求單調(diào)性來確定函數(shù)在上的最大值,因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)含有參數(shù)a,所以在求解單調(diào)性確定最值的過程中需要討論a的范圍,討論需從兩根的大小和0的大小進(jìn)行分析才能確定的最值,從而得到a的取值范圍.
(3)考慮把不等式兩邊同時(shí)去對(duì)數(shù)再證明,即證明,利用對(duì)數(shù)的乘法公式可以把不等式的左邊化解成為不可求和數(shù)列的和,在利用利用(2)得到當(dāng)a=0時(shí),ln(1+x)是恒成立的,把不可求和數(shù)列放縮成為可以裂項(xiàng)求和的數(shù)列,裂項(xiàng)利用,進(jìn)而證明原不等式.
試題解析:
(1)當(dāng)時(shí),(),
(), 1分
由解得,由解得.
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為. 3分
(2)因函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi),則當(dāng)時(shí),
不等式恒成立,即恒成立,
設(shè)(),只需即可. 4分
由,
(。┊(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
函數(shù)在上單調(diào)遞減,故成立. 5分
(ⅱ)當(dāng)時(shí),由,因,所以,
①,即時(shí),在區(qū)間上,,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,
在上無最大值(或:當(dāng)時(shí),),此時(shí)不滿足條件;
②若,即時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,
在區(qū)間上單調(diào)遞增,同樣在
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),函數(shù)
⑴當(dāng)時(shí),求函數(shù)的表達(dá)式;
⑵若,函數(shù)在上的最小值是2 ,求的值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)圖像上一點(diǎn)處的切線方程為(1)求的值;(2)若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根,求的取值范圍;(3)令如果的圖像與軸交于兩點(diǎn),的中點(diǎn)為,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)的極大值為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)..
(1)設(shè)曲線處的切線為,點(diǎn)(1,0)到直線l的距離為,求a的值;
(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立,試確定的取值范圍;
(3)當(dāng)是否存在實(shí)數(shù)處的切線與y軸垂直?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,半徑為30的圓形(為圓心)鐵皮上截取一塊矩形材料,其中點(diǎn)在圓弧上,點(diǎn)在兩半徑上,現(xiàn)將此矩形材料卷成一個(gè)以為母線的圓柱形罐子的側(cè)面(不計(jì)剪裁和拼接損耗),設(shè)與矩形材料的邊的夾角為,圓柱的體積為.
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式?
(2)求圓柱形罐子體積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)在區(qū)間內(nèi)存在,使不等式成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知在處取得極值,且在點(diǎn)處的切線斜率為.
⑴求的單調(diào)增區(qū)間;
⑵若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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