設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“①方程有實數(shù)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足.”

（1）判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說明理由；

（2）集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域為D，則對于任意，都存在，使得等式成立”，試用這一性質(zhì)證明：方程只有一個實數(shù)根；

（3）設(shè)是方程的實數(shù)根，求證：對于定義域中任意的，當(dāng)，且時，.

1）函數(shù)是集合M中的元素. （2）同解析（3）同解析


解析:

1）因為，所以滿足條件，

又因為當(dāng)時，，所以方程有實數(shù)根0.

所以函數(shù)是集合M中的元素.

（2）假設(shè)方程存在兩個實數(shù)根），則，

不妨設(shè)，根據(jù)題意存在數(shù)，

使得等式成立，

因為，，且，所以，

與已知矛盾，所以方程只有一個實數(shù)根；

（3）不妨設(shè)，因為所以為增函數(shù)，所以，

又因為，所以函數(shù)為減函數(shù)，

所以，

所以，即，

所以

.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1”．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f(x)=
x
2
+
sinx
4
是否是集合M中的元素，并說明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性質(zhì)：若f（x）的定義域為D，則對于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，試用這一性質(zhì)證明：方程f（x）-x=0只有一個實數(shù)根；
（Ⅲ）設(shè)x1是方程f（x）-x=0的實數(shù)根，求證：對于f（x）定義域中任意的x2、x3，當(dāng)|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1時，|f（x3）-f（x2）|＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足
0＜f′（x）＜1”
（I）證明：函數(shù)f（x）=
3x
4
+
x3
3
（0≤x＜
1
2
）是集合M中的元素；
（II）證明：函數(shù)f（x）=
3x
4
+
x3
3
（0≤x＜
1
2
）具有下面的性質(zhì)：對于任意[m，n]⊆[0，
1
2
），都存在xo∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（xo）成立．
（III）若集合M中的元素f（x）具有下面的性質(zhì)：若f（x）的定義域為D，則對于任意[m，n]⊆D，都存在xo∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（xo）成立．試用這一性質(zhì)證明：對集合M中的任一元素f（x），方程f（x）-x=0只有一個實數(shù)根．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．”
（Ⅰ）判斷函數(shù)f(x)=
x
2
+
sinx
4
是否是集合M中的元素，并說明理由；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x，判斷g（x）的單調(diào)性（f（x）∈M）；
（Ⅲ）設(shè)x1＜x2，證明：0＜f（x2）-f（x1）＜x2-x1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：（1）方程f（x）-x=0有實數(shù)解；（2）函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．給出如下函數(shù)：
①f(x)=
x
2
+
sinx
4
；
②f（x）=x+tanx，x∈(-
π
2
，
π
2
)；
③f（x）=log3x+1，x∈[1，+∞）．
其中是集合M中的元素的有
①③
①③
．（只需填寫函數(shù)的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江西模擬）設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：①方程f（x）-x=0有實根；②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．
（1）若函數(shù)f（x）為集合M中的任意一個元素，證明：方程f（x）-x=0只有一個實根；
（2）判斷函數(shù)g（x）=
x
2
-
lnx
2
+3(x＞1)是否是集合M中的元素，并說明理由；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）為集合M中的任意一個元素，對于定義域中任意α，β，證明|f（α）-f（β）|≤|α-β|

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